Question

已知☉O:x²+y²=1和定点A(2,1),由☉O外一点P(a,b)向☉O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.

(1)求实数a,b间满足的等量关系.

(2)求线段PQ长的最小值.

(3)若以P为圆心所作的☉P与☉O有公共点,试求半径取最小值时☉P的方程.

Answer

(1) 2a+b-3= (2) (3) (x-)2+(y-)2=(-1)2

【解析】(1)连接OP,

∵Q为切点,

∴PQ⊥OQ,

由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.

又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|2=|PA|2.

即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2.

化简得实数a,b间满足的等量关系为:2a+b-3=0.

(2)方法一:由2a+b-3=0,得b=-2a+3.

|PQ|==

==.

故当a=时,|PQ|min=.即线段PQ长的最小值为.

方法二:由(1)知,点P在直线l:2x+y-3=0上.

∴|PQ|min=|PA|min,即求点A到直线l的距离.

∴|PQ|min==.

(3)设☉P的半径为R,

∵☉P与☉O有公共点,☉O的半径为1,

∴|R-1|≤|OP|≤R+1.

即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1.

而|OP|==

=,

故当a=时,|OP|min=.

此时,b=-2a+3=,Rmin=-1.

得半径取最小值时☉P的方程为(x-)2+(y-)2=(-1)2.