Question

如图,已知椭圆C:+y²=1(a>1)的上顶点为A,离心率为,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且·=0.

(1)求椭圆C的方程.

(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.

Answer

(1) +y2=1 (2)见解析

【解析】(1)依题意有⇒

故椭圆C的方程为:+y2=1.

(2)由·=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0).

将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,

解得x=0或x=-,

因此P的坐标为(-,-+1),

即(-,),

将上式中的k换成-,得Q(,).

直线l的方程为y=(x-)+,化简得直线l的方程为y=x-,

因此直线l过定点N(0,-).