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直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知...

直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且椭圆的离心离e=,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.

(1)求椭圆的方程.

(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

 

(1) +x2=1. (2) 定值.理由见解析 【解析】(1)∵∴a=2,b=1, ∴椭圆的方程为+x2=1. (2)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2, 由已知m·n=0,得4-=0⇒=4, 又A(x1,y1)在椭圆上, 所以+=1⇒|x1|=,|y1|=, S△AOB=|x1||y1-y2|=|x1|·2|y1|=1,三角形的面积为定值. ②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+t, 由⇒(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0,必须Δ>0,即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0, 得到x1+x2=,x1x2=, ∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0⇔4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4, S=×|AB|=|t|===1, 所以三角形的面积为定值.  
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考点分析：
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给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.

(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l1,l2使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“准圆”于点M,N.

①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l1,l2的方程;

②求证:|MN|为定值.

 

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已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,a2与b2的等差中项为.

(1)求椭圆E的方程.

(2)A,B是椭圆E上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(t,0),求实数t的取值范围.

 

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如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,离心率为,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且满分5 manfen5.com·满分5 manfen5.com=0.

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(1)求椭圆C的方程.

(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.

 

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过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,的值为　　　　.

 

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设连接双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1,连接其4个焦点的四边形面积为S2,则的最大值为　　　　.

 

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