Question

已知双曲线的中心在原点,焦点F₁,F₂在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).

(1)求双曲线的方程.

(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.

(3)求△F₁MF₂的面积.

Answer

(1) x2-y2=6 (2)见解析 (3)6

【解析】(1)∵e=,

∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).

∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.

∴双曲线方程为x2-y2=6.

(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,

∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).

∴=,=,

·==-.

∵点M(3,m)在双曲线上,

∴9-m2=6,m2=3.

故·=-1,∴MF1⊥MF2.

∴·=0.

方法二:∵=(-3-2,-m),

=(2-3,-m),

∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.

∵M(3,m)在双曲线上,

∴9-m2=6,即m2-3=0.

∴·=0.

(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,

△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,

∴=6.