Question

P(x₀,y₀)(x₀≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率.

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.

Answer

(1) (2) λ=0或λ=-4

【解析】【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.

(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.

【解析】
(1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.

由题意又有·=,

可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.

(2)联立方程得

得4x2-10cx+35b2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则

设=(x3,y3),=λ+,

即

又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,

有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,

化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,

又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,

所以-5=5b2,-5=5b2.

又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)

=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,

得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.