Question

椭圆C₁:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C₂:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C₁分别交于C,D点,若S_△ACD=S_△PCD.

(1)求P点的坐标.

(2)能否使直线CD过椭圆C₁的右焦点,若能,求出此时双曲线C₂的离心率;若不能,请说明理由.

Answer

(1) P(2a,b) (2) 能， e'=，理由见解析

【解析】(1)设P(x,y)在双曲线上,则有b2x2-a2y2=a2b2 ①,

∵A(-a,0),B(a,0),

∴PA的中点为C(,),

点C在椭圆上,代入椭圆方程,化简得

b2x2+a2y2-2ab2x=3a2b2 ②

①+②:2b2x2-2ab2x=4a2b2,

∴x2-ax-2a2=0,(x+a)(x-2a)=0.

∵P在双曲线右支上,∴x+a≠0,则x=2a.

代入①:a2y2=3a2b2,P在第一象限,

∴y>0,y=b,得P(2a,b).

(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).

代入椭圆方程:

b2x2+a2·(x2-2ax+a2)=a2b2,

∴4b2x2-6ab2x+2a2b2=0.

2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0.

∵x