Question

已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程.

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁,l₂,设l₁与轨迹C相交于点A,B,l₂与轨迹C相交于点D,E,求·的最小值.

Answer

(1) y2=4x(x≥0)和y=0(x<0) (2) 16

【解析】(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|,

当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0.

所以动点P的轨迹C的方程为

y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).

(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).

由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.

因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-.

设D(x3,y3),E(x4, y4),

则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.

·=(+)·(+)

=·+·+·+·

=·+·=||·||+||·||

=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)

=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1

=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1

=8+4(k2+)≥8+4×2=16.

故当且仅当k2=,即k=±1时,·取最小值16.