Question

已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为F(4,0),长轴端点到较近焦点的距离为1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁≠x₂)为椭圆上不同的两点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若x₁+x₂=8,在x轴上是否存在一点D,使||=||?若存在,求出D点的坐标;若不存在,说明理由.

Answer

(1) +=1 (2) D点存在,为(,0) 理由见解析

【解析】(1)由题知c=4,a-c=1,∴a=5,b2=9.

∴所求方程为+=1.

(2)假设存在这样一点D(x0,0).由||=||,

则点D在线段AB的中垂线上.

又线段AB中点为(4,),

∴线段AB的中垂线方程为

y-=-(x-4) ①

∵A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是椭圆上两点,

∴+=1,+=1.

∴+=0.

∴-=·.

在①中令y=0,∴-=(x0-4).

∴x0=.∴D点存在,为(,0).