Question

已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l₁垂直于x轴,动点P在l₁上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.

(1)求曲线C的方程.

(2)若直线l₂是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l₂的距离最短时,求直线l₂的方程.

Answer

(1) x2=2y(x≠0) (2) x-y-1=0或x+y+1=

【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).

∵OP⊥OQ,∴当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0.当x≠0时,得kOP·kOQ=-1,即·=-1,化简得x2=2y,

∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).

(2)∵直线l2与曲线C相切,∴直线l2的斜率存在.

设直线l2的方程为y=kx+b,

由得x2-2kx-2b=0.

∵直线l2与曲线C相切,

∴Δ=4k2+8b=0,即b=-.

点(0,2)到直线l2的距离

d==·

=(+)

≥×2

=.

当且仅当=,即k=±时,等号成立.此时b=-1.

∴直线l2的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.