Question

如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x²=4y相切于点A.

(1)求实数b的值.

(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

Answer

(1) b=-1 (2) (x-2)2+(y-1)2=4

【解析】(1)由得x2-4x-4b=0 (*)

因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.

(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.

解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).

因为圆A与抛物线C的准线相切,

所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,

即r=|1-(-1)|=2,

所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.