Question

如图,椭圆C:+=1的焦点在x轴上,左右顶点分别为A₁,A,上顶点为B,抛物线C₁,C₂分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C₁与C₂相交于直线y=x上一点P.

(1)求椭圆C及抛物线C₁,C₂的方程.

(2)若动直线l与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同两点M,N,已知点Q(-,0),求·的最小值.

Answer

(1) 椭圆C:+=1 C1:y2=16x C2:x2=4y (2)

【解析】(1)由题意A(a,0),B(0,),设抛物线C1的方程为y2=4ax,抛物线C2的方程为x2=4y,由P(8,8),∴椭圆C:+=1.

抛物线C1:y2=16x,

抛物线C2:x2=4y.

(2)由(1)得直线OP的斜率为,

∴直线l的斜率k=-,

设直线l:y=-x+b,

由消去y,得

5x2-8bx+8b2-16=0.

∵动直线l与椭圆C交于不同的两点,

∴Δ=128b2-20(8b2-16)>0.

∴-