Question

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C₁:+=1(a>b>0)的左焦点为F₁(-1,0),且点P(0,1)在C₁上,

(1)求椭圆C₁的方程.

(2)设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂:y²=4x相切,求直线l的方程.

Answer

(1) +y2=1 (2) y=x+,y=-x-

【解析】(1)由题意得c=1,b=1,a==,

∴椭圆C1的方程为+y2=1.

(2)由题意得直线的斜率一定存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+m.

因为椭圆C1的方程为+y2=1,

∴

消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

直线l与椭圆C1相切,

∴Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0.

即2k2-m2+1=0. ①

直线l与抛物线C2:y2=4x相切,则

消去y得k2x2+(2km-4)x+m2=0.

∴Δ=(2km-4)2-4k2m2=0,即km=1. ②

由①②解得k=,m=;k=-,m=-.

所以直线l的方程y=x+,y=-x-.