Question

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)已知点Q(,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:·为定值.

Answer

(1) +y2=1 (2)见解析

【解析】(1)由题意知:c=1.

根据椭圆的定义得:2a=+,

即a=,所以b2=2-1=1,

所以椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)当直线l的斜率为0时,A(,0),B(-,0),

则·=(-,0)·(--,0)=-.

当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为

x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).

由可得(t2+2)y2+2ty-1=0.

显然Δ>0.所以

因为x1=ty1+1,x2=ty2+1,

所以·=(x1-,y1)·(x2-,y2)

=(ty1-)(ty2-)+y1y2

=(t2+1)y1y2-t(y1+y2)+

=-(t2+1)·+t·+

=+=-.

即·=-,为定值.