Question

已知椭圆C:+=1(a>b>0).

(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程.

(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.

(3)过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.

Answer

(1) +y2=1 (2) k∈(-2,-)∪(,2) (3) +=1

【解析】(1)由已知2a=4,∴a=2,

又e==,∴c=.

因此,b2=a2-c2=4-3=1,

∴椭圆的标准方程为+y2=1.

(2)显然直线x=0不满足题设条件,

可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

由消去y得(1+4k2)x2+16kx+12=0.

∵Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,

∴k∈(-∞,-)∪(,+∞) ①

又x1+x2=,x1x2=,

由0°<∠AOB<90°⇒·>0,

∴·=x1x2+y1y2>0,

所以·=x1x2+y1y2

=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)

=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4,

∴-2