Question

已知a,b,c为实数,且a+b+c+2-2m=0,a²+b²+c²+m-1=0.

(1)求证:a²+b²+c²≥.

(2)求实数m的取值范围.

Answer

(1)见解析 (2) -≤m≤1

【解析】(1)由柯西不等式得[a2+(b)2+(c)2](12+22+32)≥(a+b+c)2,

即(a2+b2+c2)×14≥(a+b+c)2,

所以a2+b2+c2≥.

当且仅当|a|=|b|=|c|时取得等号.

(2)由已知得a+b+c=2m-2,

a2+b2+c2=1-m,

所以14(1-m)≥(2m-2)2,

即2m2+3m-5≤0.

所以-≤m≤1.

又因为a2+b2+c2=1-m≥0,

所以m≤1.所以-≤m≤1.