Question

已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.

(1)求证:++≥5.

(2)求+的最小值.

Answer

(1)见解析 (2) 18

【解析】(1)根据柯西不等式,得

[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)](++)≥(5x+4y+3z)2,

当且仅当==,

即x=,y=,z=时取等号.

因为5x+4y+3z=10,

所以++≥=5.

(2)根据平均值不等式,得

+≥2=2·,

当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.

根据柯西不等式,得

(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,

即x2+y2+z2≥2,当且仅当==时,

等号成立.

综上,+≥2·32=18.

当且仅当x=1,y=,z=时,等号成立.

所以+的最小值为18.