Question

已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1.

求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).

Answer

见解析

【解析】证明：因为a,b,c均为正数,

且a+b+c=1,

所以要证原不等式成立,

即证[(a+b+c)+a][(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]

≥8[(a+b+c)-a][(a+b+c)-b][(a+b+c)-c],

也就是证[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)][(c+a)+(b+c)]≥

8(b+c)(c+a)(a+b) ①

因为(a+b)+(b+c)≥2>0,

(b+c)+(c+a)≥2>0,

(c+a)+(a+b)≥2>0,

三式相乘得①式成立,故原不等式得证.