Question

已知a,b为正数,求证:

(1)若+1>,则对于任何大于1的正数x,恒有ax+>b成立.

(2)若对于任何大于1的实数x,恒有ax+>b成立,则+1>.

Answer

见解析

【解析】证明：(1)∵x>1,∴ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2.

∵+1>(b>0),

∴(+1)2>b.

即ax+>b.

(2)∵ax+>b对于大于1的实数x恒成立,

即x>1时,[ax+]min>b,

而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2,

当且仅当a(x-1)=,

即x=1+>1时取等号.

故[ax+]min=(+1)2.

则(+1)2>b,即+1>.