Question

已知f(x)=,n∈N^*,试比较f()与的大小,并且说明理由.

Answer

见解析

【解析】f()==

=1-,

而=1-,

∴f()与的大小等价于2n与n2的大小.

当n=1时,21>12;当n=2时,22=22;

当n=3时,23<32;当n=4时,24=42;

当n=5时,25>52.猜想当n≥5时,2n>n2.

以下用数学归纳法证明:

①当n=5时,由上可知不等式成立;

②假设n=k(k≥5,k∈N*)时,

不等式成立,即2k>k2,

则当n=k+1时,2k+1=2·2k>2k2,

又∵2k2-(k+1)2=(k-1)2-2>0(∵k≥5),即2k+1>(k+1)2,

∴n=k+1时,不等式成立.

综合①②对n≥5,n∈N*不等式2n>n2成立.

∴当n=1或n≥5时,f()>;

当n=3时,f()<;

当n=2或4时,f()=.