Question

根据如图所示的程序框图,将输出的x,y值依次分别记为x₁,x₂,…,x_n,…,x₂₀₀₈;y₁,y₂,…,y_n,…,y₂₀₀₈.

(1)求数列{x_n}的通项公式.

(2)写出y₁,y₂,y₃,y₄,由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n,并证明你的结论.

(3)求z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n(n∈N^*,n≤2008).

Answer

(1) xn=2n-1(n∈N*,n≤2008)

(2) yn=3n-1(n∈N*,n≤2008)，证明见解析

(3) zn=(n-1)·3n+1+3-n2(n∈N*,n≤2008)

【解析】(1)由框图,知数列{xn}中,x1=1,xn+1=xn+2,

∴xn=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*,n≤2008).

(2)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80.

由此,猜想yn=3n-1(n∈N*,n≤2008).

证明:由框图,知数列{yn}中,yn+1=3yn+2,

∴yn+1+1=3(yn+1),∴=3,y1+1=3,

∴数列{yn+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,

∴yn+1=3·3n-1=3n,

∴yn=3n-1(n∈N*,n≤2008).

(3)zn=x1y1+x2y2+…+xnyn

=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1)(3n-1)

=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n-[1+3+…+(2n-1)]

记Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n ①

则3Sn=1×32+3×33+…+(2n-1)·3n+1 ②

①-②,得-2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n-(2n-1)·3n+1

=2(3+32+…+3n)-3-(2n-1)·3n+1

=2×-3-(2n-1)·3n+1

=3n+1-6-(2n-1)·3n+1

=2(1-n)·3n+1-6,

∴Sn=(n-1)·3n+1+3.

又1+3+…+(2n-1)=n2,

∴zn=(n-1)·3n+1+3-n2(n∈N*,n≤2008).