Question

已知函数f(x)=4^x+m·2^x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.

Answer

m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0

【解析】∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,

即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.

设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,

当Δ=0时,即m2-4=0,

∴m=2或m=-2.

又m=-2时,t=1,m=2时,t=-1(不合题意,舍去),

∴2x=1,x=0符合题意.

当Δ>0时,即m>2或m<-2时,

t2+mt+1=0有两正或两负根,

即f(x)有两个零点或没有零点,

∴这种情况不符合题意.

综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.