Question

下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)

(A)f(x)=e^x          (B)f(x)=x³

(C)f(x)=lnx        (D)f(x)=sinx

Answer

D

【解析】设切点的横坐标为x1,x2,

则存在无数对互相垂直的切线,即f'(x1)·f'(x2)=-1有无数对x1,x2使之成立,

对于A由于f'(x)=ex>0,

所以不存在f'(x1)·f'(x2)=-1成立;

对于B由于f'(x)=3x2≥0,

所以也不存在f'(x1)·f'(x2)=-1成立;

对于C由于f(x)=lnx的定义域为(0,+∞),

∴f'(x)=>0;

对于D,由于f'(x)=cosx,

所以f'(x1)·f'(x2)=cosx1·cosx2,

若x1=2mπ,m∈Z,x2=(2k+1)π,k∈Z,

则f'(x1)·f'(x2)=-1恒成立.