Question

若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x³和y=ax²+x-9都相切,则a等于(　　)

(A)-1或-          (B)-1或

(C)-或-          (D)-或7

Answer

A

【解析】【思路点拨】先设出切点坐标,再根据导数的几何意义写出切线方程,最后由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.

解:设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),

即y=3x-2.

又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,

当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得Δ=()2-4a(-9)=0,

解得a=-,

同理,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以选A.

【方法技巧】导数几何意义的应用

导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:

(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f'(x0).

(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.

(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.