Question

已知函数f(x)=x³+x-16.

(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.

(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.

Answer

(1) y=13x-32 (2) 切点坐标为(1,-14)或(-1,-18) y=4x-18或y=4x-14

【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.

∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,

∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13,

∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),

即y=13x-32.

(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,

∴切线的斜率k=4.

设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3+1=4,

∴x0=±1,

∴或

∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),

切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.

即y=4x-18或y=4x-14.