Question

已知函数f(x)=ax³+3x²-6ax-11,g(x)=3x²+6x+12和直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.

(1)求a的值.

(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.

Answer

(1) a=-2 (2) 公切线是y=9,此时k=0

【解析】(1)f'(x)=3ax2+6x-6a,f'(-1)=0,

即3a-6-6a=0,∴a=-2.

(2)存在.∵直线m恒过定点(0,9),直线m是曲线y=g(x)的切线,设切点为(x0,3+6x0+12),

∵g'(x0)=6x0+6,

∴切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入,得x0=±1,

当x0=-1时,切线方程为y=9;

当x0=1时,切线方程为y=12x+9.

由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,

即有x=-1或x=2,

当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18;

当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9.

∴公切线是y=9.

又令f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,

∴x=0或x=1.

当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;

当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,

∴公切线不是y=12x+9.

综上所述公切线是y=9,此时k=0.