Question

已知两函数f(x)=8x²+16x-k,g(x)=2x³+5x²+4x,其中k为实数.

(1)对任意x∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围.

(2)存在x∈[-3,3]使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围.

(3)对任意x₁,x₂∈[-3,3]都有f(x₁)≤g(x₂),求k的取值范围.

Answer

(1) k≥45 (2) k≥-7 (3) k≥141

【解析】(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,

问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立,

即h(x)min≥0,x∈[-3,3].

令h'(x)=6x2-6x-12=0,得x=2或x=-1.

∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,

h(3)=k-9,

∴h(x)min=k-45≥0,得k≥45.

(2)据题意:存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,

即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]上能成立,

∴h(x)max≥0.∴h(x)max=k+7≥0,得k≥-7.

(3)据题意:f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3],

易得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21.

∴120-k≤-21,得k≥141.