Question

已知函数f(x)=x³-x²+ax-a(a∈R).

(1)当a=-3时,求函数f(x)的极值.

(2)若函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.

Answer

(1) 当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=--1+3+3=,

当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=×27-9-9+3=-6.

(2) (0,+∞)

【解析】(1)当a=-3时,f(x)=x3-x2-3x+3.

f'(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).

令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.

当x<-1时,f'(x)>0,

则函数在(-∞,-1)上是增函数,

当-13时,f'(x)>0,

则函数在(3,+∞)上是增函数.

所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=--1+3+3=,

当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=×27-9-9+3=-6.

(2)因为f'(x)=x2-2x+a,

所以Δ=4-4a=4(1-a).

①当a≥1时,则Δ≤0,∴f'(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.

f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,当a≥1时函数的图象与x轴有且只有一个交点.

②a<1时,则Δ>0,∴f'(x)=0有两个不等实数根,不妨设为x1,x2(x10,解得a>0.

而当00.

故0