Question

已知函数f(x)=x³-x²+x+b,其中a,b∈R.

(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式.

(2)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.

Answer

(1) f(x)=x3-2x2+x+4

(2) 当01,函数f(x)在区间(-∞,1)及(,+∞)上为增函数,在区间(1,)上为减函数;

当a=1时,=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上为增函数;

当a>1时,<1,函数f(x)在区间(-∞,)及(1,+∞)上为增函数,在区间(,1)上为减函数.

【解析】(1)f'(x)=ax2-(a+1)x+1.

由导数的几何意义得f'(2)=5,于是a=3.

由切点P(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.

所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4.

(2)f'(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-)(x-1).

当01,函数f(x)在区间(-∞,1)及(,+∞)上为增函数,在区间(1,)上为减函数;

当a=1时,=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上为增函数;

当a>1时,<1,函数f(x)在区间(-∞,)及(1,+∞)上为增函数,在区间(,1)上为减函数.