Question

设f(x)=-x³+x²+2ax.

(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.

(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.

Answer

(1) a>- (2) f(x)max=

【解析】(1)f(x)=-x3+x2+2ax,

∴f'(x)=-x2+x+2a,当x∈[,+∞)时,f'(x)的最大值为f'()=+2a.

函数f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,即导函数在(,+∞)上存在函数值大于零成立,

∴+2a>0a>-.

(2)已知00,

f'(4)=-16+4+2a=2a-12<0,

则必有一点x0∈[1,4]使得f'(x0)=0,此时函数f(x)在[1,x0]上单调递增,在[x0,4]上单调递减,

f(1)=-++2a=+2a>0,

∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,

∴-+8a=-,得a=1,

此时,由f'(x0)=-+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),

所以函数f(x)max=f(2)=.