Question

已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意实数a,b∈R,满足:f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a_n=(n∈N^*),b_n=(n∈N^*).

考察下列结论:

①f(0)=f(1);②f(x)为偶函数;

③数列{a_n}为等比数列;

④数列{b_n}为等差数列.

其中正确的结论共有(　　)

(A)1个      (B)2个      (C)3个      (D)4个

Answer

C

【解析】根据所给的四个条件,逐条验证即可.注意②中用特殊值验证,③④用定义判断.

∵f(0)=f(0×0)=0,

f(1)=f(1×1)=2f(1),

∴f(1)=0,①正确;

又f(1)=f((-1)×(-1))=-2f(-1),

∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),

故f(x)不是偶函数,故②错;

∵f(2n)=f(2·2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n,

∴=+1,

即bn=bn-1+1,

∴{bn}是等差数列,④正确;

b1==1,

bn=1+(n-1)·1=n,

f(2n)=2nbn=n·2n,

an==2n,

故数列{an}是等比数列,③正确.故选C.