Question

设函数f(x)满足2f(x)-f()=4x-+1,数列{a_n}和{b_n}满足下列条件:a₁=1,a_n+1-2a_n=f(n),b_n=a_n+1-a_n(n∈N^*).

(1)求f(x)的解析式.

(2)求{b_n}的通项公式b_n.

(3)试比较2a_n与b_n的大小,并证明你的结论.

Answer

(1) f(x)=2x+1 (2) bn=3·2n-2 (3)见解析

【解析】(1)∵2f(x)-f()=4x-+1,

∴2f()-f(x)=-2x+1.

联立方程组

①×2+②,得3f(x)=6x+3

∴f(x)=2x+1.

(2)由题设an+1=2an+2n+1 ③,

an+2=2an+1+2n+3 ④,

④-③得an+2-an+1=2(an+1-an)+2,

即bn+1=2bn+2,∴bn+1+2=2(bn+2),

∴{bn+2}为等比数列.

q=2,b1=a2-a1=4,bn+2=6·2n-1,

∴bn=3·2n-2.

(3)由(2),知an+1-an=3×2n-2,而已知an+1-2an=2n+1,联立解得an=3×2n-2n-3,

∴2an=6×2n-4n-6,

∴2an-bn=3×2n-4(n+1).

当n=1时,2a1-b1=-2<0,∴2a10,∴2a3>b3;

当n=4时,2a4-b4=28>0,∴2a4>b4.

猜想当n≥3时,2an>bn即3×2n>4(n+1).

当n=3时,显然成立,

假设当n=k(k≥3)时,命题正确,

即3×2k>4(k+1).

当n=k+1时,

即3×2k+1=2×(3×2k)>8(k+1)=8k+8

=4k+8+4k>4k+8=4(k+2).

不等式也成立,故对一切n≥3且n∈N*,

2an>bn.

综上所述,当n=1时,2anbn.