Question

已知函数f(x)=x³-x,数列{a_n}满足条件:a₁≥1,a_n+1≥f'(a_n+1).试比较+++…+与1的大小,并说明理由.

Answer

见解析

【解析】+++…+<1.

理由如下:

∵f'(x)=x2-1,an+1≥f'(an+1),

∴an+1≥(an+1)2-1.

令g(x)=(x+1)2-1,则函数g(x)=x2+2x在区间[1,+∞)上单调递增,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,

由此猜想:an≥2n-1.

下面用数学归纳法证明这个猜想:

①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;

②假设n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即ak≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+∞)上单调递增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.

由①②知,对任意n∈N*,都有an≥2n-1,

即1+an≥2n,∴≤,

∴+++…+≤+++…+==1-()n<1.

【方法技巧】“归纳——猜想——证明”类问题的一般解题思路

通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其关键是归纳、猜想出公式.