Question

如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:

(1)·.

(2)EG的长.

(3)异面直线EG与AC所成角的大小.

Answer

(1) (2) (3) 45°

【解析】设=a,=b,=c,

则|a|=|b|=|c|=1,

===60°,==c-a,

=-a,=b-c.

(1)·=(c-a)·(-a)

=-a·c+=-+=.

(2)=++

=+(-)+(-)

=-++=-a+b+c

∴=(-a+b+c)2

=(-2a·b-2a·c+2b·c)=,

∴||=,即EG的长为.

(3)由(2)知,·=(-a+b+c)·b

=-a·b++c·b=,

∴cos<,>===.

故异面直线EG与AC所成的角为45°.

【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法

1.常见类型

利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题.

2.常用的解题方法

(1)基向量法

先选择一组基向量,把其他向量都用基向量表示,然后根据向量的运算解题.

(2)坐标法

根据条件建立适当的空间直角坐标系,并求出相关点的坐标,根据向量的坐标运算解题即可.