Question

如图,三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2,又AA₁⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC₁的中点.

(1)求证:AE⊥平面A₁BD.

(2)求二面角D-BA₁-A的余弦值.

(3)求点B₁到平面A₁BD的距离.

Answer

(1)见解析 (2) (3)

【解析】由AA1⊥平面ABC可知,平面ABC⊥平面ACC1A1,故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.

【解析】
(1)以D为原点,DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图,

则A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A1(1,-2,0),C1(-1,-2,0),B(0,0,),B1(0,-2,),

=(-2,-1,0),=(-1,2,0),=(0,0,-).∴·=2-2+0=0,

∴AE⊥A1D,·=0,∴AE⊥BD.

又A1D与BD相交于D,∴AE⊥平面A1BD.

(2)设平面DA1B的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),

由⇒取n1=(2,1,0).

设平面AA1B的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),

易得=(-1,2,),=(0,2,0),

则由⇒

取n2=(3,0,).cos==.

故二面角D-BA1-A的余弦值为.

(3)=(0,2,0),平面A1BD的法向量取n1=(2,1,0),则点B1到平面A1BD的距离为d=||=.