Question

已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.

(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.

(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

Answer

(1)见解析 (2)

【解析】(1)根据题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=,

所以AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO.

又AO⊥BD,BD∩CO=O,

所以AO⊥平面BCD.

(2)方法一:由(1)知,CO⊥OD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz,

则有O(0,0,0),D(0,,0),

C(,0,0),B(0,-,0).

设A(x0,0,z0)(x0<0),

则=(x0,0,z0),=(0,,0).

平面ABD的一个法向量为n=(z0,0,-x0).

平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120°,

所以|cos|=|cos120°|=,得=3.

因为OA=,所以=.解得x0=-,z0=.所以A(-,0,).

平面ABC的一个法向量为l=(1,-1,).

设二面角A-BC-D的平面角为θ,

所以cosθ=|cos|=||=.

所以tanθ=.

所以二面角A-BC-D的正切值为.

方法二:折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=.

如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,

因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH⊂平面AOC,所以BD⊥AH.

又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK,因为BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK⊂平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平面角.

在△AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.

在Rt△CHK中,HK==,

在Rt△AHK中,tan∠AKH===.

所以二面角A-BC-D的正切值为.