Question

如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,点M在AD₁上移动,点N在BD上移动,D₁M=DN=a(0<a<),连接MN.

(1)证明对任意a∈(0,),总有MN∥平面DCC₁D₁.

(2)当a为何值时,MN的长最小?

Answer

(1)见解析 (2) 当a=时,MN的长有最小值

【解析】(1)作MP∥AD,交DD1于P,作NQ∥BC,交DC于Q,连接PQ.

由题意得MP∥NQ,且MP=NQ,

则四边形MNQP为平行四边形.

∴MN∥PQ.

又PQ⊂平面DCC1D1,MN⊄平面DCC1D1,

∴MN∥平面DCC1D1.

(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形,

∴MN=PQ,

由已知D1M=DN=a,DD1=AD=DC=1,

∴AD1=BD=,

∴D1P∶1=a∶,DQ∶1=a∶,

即D1P=DQ=.

∴MN=PQ=

=

=(0