Question

如图,已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB₁.

求证:(1)BC₁⊥AB₁.

(2)BC₁∥平面CA₁D.

Answer

见解析

【解析】【证明】如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设AC=BC=BB1=2,

则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),

C1(0,0,0),D(1,1,2).

(1)由于=(0,-2,-2),

=(-2,2,-2),

所以·=0-4+4=0,

因此⊥,

故BC1⊥AB1.

(2)取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),

所以=(0,1,1).

又=(0,-2,-2),

所以=-.

又ED和BC1不共线,所以ED∥BC1.

又DE⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,

故BC1∥平面CA1D.