Question

如图,在圆锥PO中,已知PO=,☉O的直径AB=2,C是的中点,D为AC的中点.

求证:平面POD⊥平面PAC.

Answer

见解析

【解析】

【证明】如图,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D(-,,0).

设n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一个法向量,则由n1·=0,n1·=0,

得

所以z1=0,x1=y1.取y1=1,得n1=(1,1,0).

设n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量,

则由n2·=0,

n2·=0,得

所以x2=-z2,y2=z2.

取z2=1,得n2=(-,,1).

因为n1·n2=(1,1,0)·(-,,1)=0,

所以n1⊥n2.

从而平面POD⊥平面PAC.