Question

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.

求证:(1)CM∥平面PAD.

(2)平面PAB⊥平面PAD.

Answer

见解析

【解析】建立空间直角坐标系.(1)可证明与平面PAD的法向量垂直;也可将分解为平面PAD内的两个向量的线性组合,利用共面向量定理证明.

(2)取AP中点E,利用向量证明BE⊥平面PAD即可.

【证明】由题意可知:

以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

∵PC⊥平面ABCD,

∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,

∴∠PBC=30°.

∵PC=2,∴BC=2,PB=4.

∴D(0,1,0),B(2,0,0),

A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),

∴=(0,-1,2),=(2,3,0),

=(,0,).

(1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则

即∴

令y=2,得n=(-,2,1).

∵n·=-×+2×0+1×=0,

∴n⊥.又CM⊄平面PAD,

∴CM∥平面PAD.

方法二:∵=(0,1,-2),=(2,4,-2),

假设∥平面PAD,

则存在x0,y0使=x0+y0,则

方程组的解为

∴=-+.

由共面向量定理知与,共面,故假设成立.

又∵CM⊄平面PAD,

∴CM∥平面PAD.

(2)取AP的中点E,连接BE,则E(,2,1),

=(-,2,1).

易知PB=AB,∴BE⊥PA.

又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,

∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,

∴BE⊥平面PAD.

又∵BE⊂平面PAB,

∴平面PAB⊥平面PAD.