Question

在如图所示的几何体中,四边形ACC₁A₁是矩形,FC₁∥BC,EF∥A₁C₁,∠BCC₁=90°,点A,B,E,A₁在一个平面内,AB=BC=CC₁=2,AC=2.

证明:(1)A₁E∥AB.

(2)平面CC₁FB⊥平面AA₁EB.

Answer

见解析

【解析】【证明】(1)∵四边形ACC1A1是矩形,

∴A1C1∥AC.又AC⊂平面ABC,A1C1⊄平面ABC,

∴A1C1∥平面ABC.

∵FC1∥BC,BC⊂平面ABC,∴FC1∥平面ABC.

又∵A1C1,FC1⊂平面A1EFC1,

∴平面A1EFC1∥平面ABC.

又∵平面ABEA1与平面A1EFC1、平面ABC的交线分别是A1E,AB,∴A1E∥AB.

(2)∵四边形ACC1A1是矩形,∴AA1∥CC1.

∵∠BCC1=90°,即CC1⊥BC,∴AA1⊥BC.

又∵AB=BC=2,AC=2,∴AB2+BC2=AC2.

∴∠ABC=90°,即BC⊥AB.

∵AB,AA1⊂平面AA1EB,且AB∩AA1=A,

∴BC⊥平面AA1EB.

而BC⊂平面CC1FB,

∴平面CC1FB⊥平面AA1EB.