Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.

(1)若PD∥平面EAC,试确定点E在棱PB上的位置.

(2)在(1)的条件下,求二面角A-CE-P的余弦值.

Answer

(1) PE=PB (2)

【解析】(1)在梯形ABCD中,由题知AB⊥BC,AB=BC,∴AC=AB,∠BAC=,

∴∠DCA=∠BAC=.

又∠CAD=90°,

∴△DAC为等腰直角三角形.

∴DC=AC=(AB)=2AB.

连接BD,交AC于点M,连接ME,

∵AB∥DC,∴==2.

∵PD∥平面EAC,

又平面EAC∩平面PDB=ME,

∴PD∥EM.

在△BPD中,==2,∴PE=2EB,

∴当PE=PB时,PD∥平面EAC.

(2)由题意知△PAB为等腰直角三角形,取PB中点N,连接AN,则AN⊥PB.

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.

∵∠ABC=90°,即AB⊥BC,

又PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.

∵BC⊂平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB,

又平面PAB∩平面PCB=PB,∴AN⊥平面PBC.

∵CE⊂平面PBC,∴AN⊥CE.

在平面PBC内,过点N作NH垂直直线CE于点H,连接AH.

∵AN⊥CE,NH⊥CE,AN∩NH=N,

∴CE⊥平面ANH,

∴AH⊥CE.∴∠AHN是二面角A-CE-P的平面角.

设PA=AB=BC=a,

则PB==a,BE=PB=a,

NE=PB-BE=PB-PB=PB=a,

CE==a.

∵NH⊥CE,EB⊥CB,∠NEH=∠CEB,

∴△NEH∽△CEB,∴=,

∴NH==a.

∵AN⊥平面PBC,NH⊂平面PBC,

∴AN⊥NH,则△AHN为直角三角形.

在Rt△AHN中,AN=AB=a,

∴tan∠AHN==,

∴cos∠AHN===.

∴二面角A-CE-P的余弦值为.