Question

在四棱锥P -ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.

(1)求四棱锥的体积.

(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.

Answer

(1)2 (2)

【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,

∵PO⊥平面ABCD,

∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,

即∠PBO=60°.

在Rt△POB中,

∵BO=AB·sin30°=1,

又PO⊥OB,

∴PO=BO·tan60°=,

∵底面菱形的面积S菱形ABCD=2.

∴四棱锥P -ABCD的体积

VP -ABCD=×2×=2.

(2)取AB的中点F,连接EF,DF,

∵E为PB中点,

∴EF∥PA.

∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角).

在Rt△AOB中,

AO=AB·cos30°==OP,

∴在Rt△POA中,PA=,

∴EF=.

∵四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,

∴△ABD为正三角形.

又∵∠PBO=60°,BO=1,

∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD为正三角形,

∴DF=DE=,

∴cos∠DEF=

===.

即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.