Question

已知函数f(x)=a-是偶函数,a为实常数.

(1)求b的值.

(2)当a=1时,是否存在n>m>0,使得函数y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n],若存在,求出m,n的值,否则,说明理由.

Answer

(1) b=0 (2) 不存在，理由见解析

【解析】(1)由已知,可得f(x)=a-的定义域为D=(-∞,)∪(,+∞).

又y=f(x)是偶函数,故定义域D关于原点对称.

于是,b=0(否则,当b≠0时,有-∈D且D,即D必不关于原点对称).

又对任意x∈D,有f(x)=f(-x),可得b=0

因此所求实数b=0.

(2)由(1),可知f(x)=a-(D=(-∞,0)∪(0,+∞)).

考察函数f(x)=a-的图象,可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,

又n>m>0,

∴y=f(x)在区间[m,n]上是增函数.

因y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n].

∴有

即方程1-=x,也就是2x2-2x+1=0有两个不相等的正根.

∵Δ=4-8<0,∴此方程无解.

故不存在正实数m,n满足题意.