Question

已知函数f(x)=3ax²+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.

(1)求证:-2<<-1.

(2)若x₁,x₂是方程f(x)=0的两个实根,求|x₁-x₂|的取值范围.

Answer

(1)见解析 (2) [,)

【解析】(1)当a=0时,f(0)=c,f(1)=2b+c,

又b+c=0,

则f(0)·f(1)=c(2b+c)=-c2<0与已知矛盾.

因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)

=-(a+b)(2a+b)>0,

即(+1)(+2)<0,从而-2<<-1.

(2)x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,

则x1+x2=-,x1x2=-,

那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

=(-)2+4×=·()2+·+

=(+)2+.

∵-2<<-1,

∴≤(x1-x2)2<,

∴≤|x1-x2|<.

即|x1-x2|的取值范围是[,).