Question

已知函数f(x)=-x+log₂.

(1)求f()+f(-)的值.

(2)当x∈(-a,a],其中a∈(0,1),a是常数时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.

Answer

(1)0 (2) f(x)存在最小值,且为log2-a

【解析】∵f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,

(1)f(-x)=x+log2=x-log2,

∴f(-x)=-f(x),故f(x)在(-1,1)上是奇函数,

因此f()+f(-)=f()-f()=0.

(2)∵f(x)=-x+log2(-1+),

令U(x)=-1+,

则U(x)在(-1,1)上是减函数,

∴f(x)在(-1,1)上是减函数.

又a∈(0,1),∴当x∈(-a,a]时,f(x)是减函数,

故f(x)min=f(a)=-a+log2,

∴f(x)存在最小值,且为log2-a.