Question

在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC的中点，又∠CAD＝30°，PA＝AB＝4，点N在线段PB上，且＝.

(1)求证：BD⊥PC；

(2)求证：MN∥平面PDC；

(3)设平面PAB∩平面PCD＝l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）不平行

【解析】(1)因为△ABC是正三角形，M是AC的中点，

所以BM⊥AC，即BD⊥AC.

又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.

又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.

(2)在正三角形ABC中，BM＝2，

在△ACD中，因为M为AC的中点，DM⊥AC，所以AD＝CD，∠CDA＝120°，所以DM＝，所以BM∶MD＝3∶1，

所以BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD，

又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.

(3)假设直线l∥CD，因为l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB.

又CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以CD∥AB.

又知CD与AB不平行，

所以直线l与直线CD不平行．