Question

已知四棱锥P－ABCD的正视图是一个底边长为4，腰长为3的等腰三角形，如图分别是四棱锥P－ABCD的侧视图和俯视图．

(1)求证：AD⊥PC；

(2)求四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积．

Answer

（1）见解析（2）6

【解析】(1)证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE，则PE⊥平面ABCD.

∵AD⊂平面ABCD，

∴AD⊥PE.

∵AD⊥CD，CD∩PE＝E，CD⊂平面PCD，PE⊂平面PCD，

∴AD⊥平面PCD.

∵PC⊂平面PCD，

∴AD⊥PC.

(2)依题意，在等腰三角形PCD中， PC＝PD＝3，DE＝EC＝2，

在Rt△PED中，PE＝.

过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接PF，

∵PE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥PE.

∵EF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，EF∩PE＝E，

∴AB⊥平面PEF.

∵PF⊂平面PEF，

∴AB⊥PF，

依题意得EF＝AD＝2.

在Rt△PEF中，PF＝＝3，

∴△PAB的面积为S＝·AB·PF＝6.

∴四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积为6.