Question

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(－2,0)，B(2,0)，点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为－.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点D(1,0)的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）＝1(x≠±2)（2），x＝1

【解析】(1)设P点的坐标为(x，y)．

∵A(－2,0)，B(2,0)，直线AP与直线BP的斜率之积为－，

∴＝－(x≠±2)．

化简整理得P点的轨迹C的方程为＝1(x≠±2)．

(2)依题意可设直线l的方程为x＝ny＋1.

由得(3n2＋4)y2＋6ny－9＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－.

△MON的面积S＝|OD|·|y1－y2|＝＝.

令t＝，则t≥1，且3t＋在[1，＋∞)上单调递增，

∴当t＝1时，3t＋取得最小值4，S取得最大值，

此时直线的方程为x＝1.