Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝t，求实数t的值．

Answer

（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝

【解析】(1)设椭圆C的方程为＝1(a＞b＞0)，

由题意知解得

因此椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)(ⅰ)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m.

由题意得－＜m＜0或0＜m＜.

将x＝m代入椭圆方程＋y2＝1，得|y|＝ .

所以S△AOB＝|m|·＝.解得m2＝或m2＝.①

因为＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，

又P为椭圆C上一点，所以＝1.②

由①②，得t2＝4或t2＝，

又t＞0，所以t＝2或t＝.

(ⅱ)当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋h.

将其代入椭圆的方程＋y2＝1，得

(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由判别式Δ＞0可得1＋2k2＞h2，

此时x1＋x2＝－，x1x2＝，

y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，

所以|AB|＝.

因为点O到直线AB的距离d＝，

所以S△AOB＝|AB|d＝×2×××＝××|h|.

又S△AOB＝，所以××|h|＝.③

令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0.

解得n＝4h2或n＝h2，即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④

因为＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝，

又P为椭圆C上一点，

所以t2＝1，即＝1.⑤

将④代入⑤，得t2＝4或t2＝.

又t＞0，故t＝2或t＝.

经检验，适合题意．

综合(ⅰ)(ⅱ)，得t＝2或t＝