Question

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．

(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；

(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，

所以∠DCB＝∠A.由题设知，

故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.

因为B，E，F，C四点共圆，

所以∠CFE＝∠DBC，

故∠EFA＝∠CFE＝90°，

所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圆的直径．

(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，

所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.

由DB＝BE，有CE＝DC.

又BC2＝DB·BA＝2DB2，

所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.

而CE2＝DC2＝DB·DA＝3DB2，

故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.